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Convergence de séries à termes positifs
Exercice 1 
- Majorations et équivalents - 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Etudier la convergence des séries $\sum u_n$ suivantes :$$\begin{array}{lllll}\displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\frac{n}{n^3+1}&&\displaystyle \mathbf 2.\ u_n=\frac{\sqrt n}{n^2+\sqrt n}&&\displaystyle \mathbf 3.\ \dis u_n=n\sin(1/n)\\\displaystyle \mathbf 4.\ u_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\ln\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)&&\displaystyle \mathbf 5.\ u_n=\frac{(-1)^n +n}{n^2+1}&&\displaystyle \mathbf 6.\ u_n=\frac{1}{n!}\\\displaystyle \mathbf 7.\ u_n=\frac{3^n+n^4}{5^n-2^n}&&\displaystyle \mathbf 8.\ u_n=\frac{n+1}{2^n+8}&&\displaystyle \mathbf 9.\ u_n=\frac{1}{\ln(n^2+1)}\end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Équivalents et majorations - 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier la convergence des séries $\sum u_n$ suivantes :$$\begin{array}{lllll}\displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{n}}&&\displaystyle \mathbf 2.\ u_n=a^n n!,\ a\in\mathbb R_+&&\displaystyle \mathbf 3. \ u_n=ne^{-\sqrt n}\\\displaystyle {\bf 4.}\ u_n=\frac{\ln(n^2+3)\sqrt{2^n+1}}{4^n}.&&\displaystyle {\bf 5}.\ \ u_n=\frac{\ln n}{\ln(e^n -1)}&&\displaystyle \mathbf 6.\ u_n=\left(\frac 1n\right)^{1+\frac 1n}\\\ \displaystyle \mathbf 7.\ u_n=\frac{(n!)^3}{(3n)!}.\end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Règle de d'Alembert [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier les séries de terme général suivant :$$\begin{array}{lllll}\displaystyle \displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\frac{n!}{n^{an}},\ a\in\mathbb R&&\displaystyle \mathbf 2.\ u_n=\frac{n^\alpha(\ln n)^n}{n!}\textrm{ avec }\alpha\in\mathbb R&& \mathbf 3.\ u_n=\frac{(n!)^\alpha}{(2n)!},\ \alpha\in\mathbb R.\end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Equivalents à partir de développements limités [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Donner la nature des séries numériques $\sum u_n$ suivantes :$$\begin{array}{lllll}\displaystyle\mathbf 1.\ u_n=1-\cos\frac{\pi}{n}&&\displaystyle \displaystyle \mathbf 2.\ u_n=\exp\left(\cos\left(\frac 1n\right)\right)-\exp\left(\cos\left(\frac 2n\right)\right)&&\displaystyle \displaystyle \mathbf 3.\ u_n=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}\\\end{array}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Avec des paramètres - 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Discuter, suivant la valeur des paramètres, la convergence des séries suivantes :$$\begin{array}{lll}\displaystyle \mathbf 1.\ e^{\frac 1n}-a-\frac{b}{n},\ a,b\in\mathbb R &&\displaystyle \mathbf 2.\ \cos\left(\frac 1n\right)-a-\frac bn,\ a,b\in\mathbb R.\\\displaystyle \mathbf 3.\ \frac{1}{an+b}-\frac{c}n,\ a,b,c\in\mathbb R,\ (a,b)\neq (0,0)\end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Avec des paramètres - 3 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer en fonction des paramètres la nature des séries numériques $\sum u_n$ suivantes :$$\begin{array}{lll}\displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\left(n\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)^{n^\alpha},\ \alpha\geq 0&& \displaystyle \mathbf 2.\ \frac{1}{n^\alpha}\left((n+1)^{1+1/n}-(n-1)^{1-1/n}\right),\ \alpha\in\mathbb R.\end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Inclassables [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier la nature des séries $\sum u_n$ suivantes :
- $u_n=1/n$ si $n$ est un carré, et 0 sinon.
- $u_n=\arctan(n+a)-\arctan(n)$, avec $a>0$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Cas limite de la règle de d'Alembert [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit, pour $n\geq 1$ et $a>0$, la suite $u_n=\frac{a^n n!}{n^n}$.
- Étudier la convergence de la série $\sum_n u_n$ lorsque $a\neq e$.
- Lorsque $a=e$, prouver que, pour $n$ assez grand, $u_{n+1}/u_n\geq 1$. Que dire de la nature de la série$\sum_n u_n$?
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Cas limite de la règle de d'Alembert [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
- Soit, pour tout entier $n\geq 1$, $\dis u_n=\frac{1\times 3\times 5\times\dots\times (2n-1)}{2\times 4\times6\times\dots\times(2n)}$. Quelle est la limite de $u_{n+1}/u_n$? Montrer que la suite $(nu_n)$ est croissante. En déduire que la série de terme général $u_n$ est divergente.
- Soit, pour tout entier $n\geq 2$, $\dis v_n=\frac{1\times 3\times 5\times\dots\times (2n-3)}{2\times 4\times6\times\dots\times(2n)}$. Quelle est la limite de $v_{n+1}/v_n$? Montrer que, si $1<\alpha<3/2$, on a $(n+1)^\alpha v_{n+1}\leq n^\alpha v_n$. En déduire que la série de terme général $v_n$ converge.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Un cran au-dessus [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier la convergence des séries $\sum u_n$ suivantes :$$\begin{array}{lll}\displaystyle\mathbf 1.\ u_n=\frac{1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}}{\ln(n!)}&&\displaystyle\mathbf 2.\ u_n=\int_0^{\pi/n}\frac{\sin^3 x}{1+x}dx\\\displaystyle\mathbf 3.\ u_1\in\mathbb R,\ u_{n+1}=e^{-u_n}/n^\alpha, \alpha\in\mathbb R.\end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Série des inverses des nombres premiers [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(p_k)_{k\geq 1}$ la suite ordonnée des nombres premiers.Le but de l'exercice est d'étudier la divergence de la série $\sum_{k\geq 1}\frac{1}{p_k}$.Pour $n\geq 1$, on pose $V_n=\prod_{k=1}^n \frac{1}{1-\frac1{p_k}}$.
- Montrer que la suite $(V_n)$ est convergente si et seulement si la suite $(\ln V_n)$est convergente.
- En déduire que la suite $(V_n)$ est convergente si et seulement si la série$\sum_{k\geq 1}\frac{1}{p_k}$ est convergente.
- Démontrer que$$V_n=\prod_{k=1}^n\left(\sum_{j\geq 0}\frac{1}{p_k^j}\right).$$
- En déduire que $V_n\geq\sum_{j=1}^n \frac{1}j$.
- Quelle est la nature de la série $\sum_{k\geq 1}\frac{1}{p_k}$?
- Pour $\alpha\in\mathbb R$, quelle est la nature de la série $\sum_{k\geq 1}\frac{1}{p_k^\alpha}$?
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Valeur absolue et sinus [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier la convergence de la série de terme général $\frac{|\sin(n)|}{n}$.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Entiers sans 9 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On note $A$ l'ensemble des entiers naturels non-nuls dont l'écriture (en base $10$) ne comporte pas de 9.On énumère $A$ en la suite croissante $(k_n)$. Quelle est la nature de la série $\sum_n \frac1{k_n}$?
Indication
Corrigé
Convergence de séries à termes quelconques
Exercice 14 - Sans le critère des séries alternées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère la série $\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^k}k$, et on note, pour $n\geq 1$,$$S_n=\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k},\ u_n=S_{2n},\ v_n=S_{2n+1}.$$
- La série est-elle absolument convergente?
- Démontrer que les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.
- Conclure que la série est convergente.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Pour commencer! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier la nature des séries $\sum u_n$ suivantes :$$\begin{array}{lll}\displaystyle\mathbf 1.\ u_n=\frac{\sin n^2}{n^2}&&\displaystyle\mathbf 2.\ u_n=\frac{(-1)^n\ln n}{n}\\\displaystyle\mathbf 3.\ u_n=\frac{\cos (n^2\pi)}{n\ln n}\end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Convergence absolue [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,1]\to\mtr$ une fonction continue. Montrer que la série de terme général $\frac{1}{n}\int_0^1 t^nf(t)dt$ est convergente.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Une erreur classique... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
- Démontrer que la série $\sum_n \frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ converge.
- Démontrer que $\displaystyle \frac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n}=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}-\frac1n+\frac{(-1)^n}{n\sqrtn}+o\left(\frac 1{n\sqrt n}\right)$.
- Étudier la convergence de la série $\displaystyle \sum_n \frac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n}$.
- Qu'a-t-on voulu mettre en évidence dans cet exercice?
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Décomposition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier la convergence des séries de terme général :$$\begin{array}{lll}\displaystyle\mathbf 1.\ \ln\left(1+\frac{(-1)^n}{2n+1}\right)&&\displaystyle\mathbf 2. \frac{(-1)^n}{\sqrt{n^\alpha+(-1)^n}},\ \alpha>0\\\displaystyle\mathbf 3. \frac{(-1)^n}{n^\alpha+(-1)^nn^\beta},\ \alpha,\beta\in\mathbb R.\end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 19 - En deux étapes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Discuter la nature de la série de terme général $$u_n=\frac{a^n2^{\sqrt n}}{2^{\sqrt n}+b^n},$$ où $a$ et $b$sont deux nombres complexes, $a\neq 0$.
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Discussion suivant un paramètre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Suivant la position du point de coordonnées $(x,y)$ dans le plan, étudier la nature de la série de terme général$$u_n=\frac{x^n}{y^n+n}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Reste d'une série alternée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On fixe $\alpha>0$ et on pose $u_n=\sum_{p=n}^{+\infty}\frac{(-1)^p}{p^\alpha}$. Le but de l'exercice est démontrerque la série de terme général $u_n$ converge.
- Soit $n\geq 1$ fixé. On pose$$v_p=\frac{1}{(p+n)^\alpha}-\frac{1}{(p+n+1)^\alpha}.$$Démontrer que la suite $(v_p)$ décroît vers 0. En déduire la convergence de $\sum_{p=0}^{+\infty}(-1)^pv_p$.Quel est le signe de sa somme?
- En appliquant le critère des séries alternées, démontrer que la série de terme général $(u_n)$ converge.
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Transformation d'Abel [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère deux suites complexes $(u_n)$ et $(v_n)$. On s'intéresse à la convergence de la série $\sum_n u_nv_n$. Pour $n\geq 1$, on note $s_n=\sum_{k=0}^n u_k$.
- Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N$, on a :$$\sum_{k=1}^n u_kv_k=s_nv_n-s_{0}v_0+\sum_{k=1}^{n-1}s_k(v_k-v_{k+1}).$$
- Montrer que si la suite $(s_n)$ est bornée, et si la suite $(v_n)$ est à valeursdans $\mathbb R^+$, décroissante et de limite nulle, alors $\sum_n u_nv_n$ est convergente.
- Montrer que la série $\sum_{n\geq 1}\frac{\sin(n\theta)}{\sqrt n}$ converge pour tout $\theta\in\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Décomposition - avec Abel [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier la convergence des séries suivantes :$$\begin{array}{lll}\dis\mathbf 1.\ \sin\left(\frac{\sin n}{\sqrt[3]{n}}\right)&&\dis\mathbf 2.\ \frac{(-1)^nn\cos n}{n\sqrt{n}+\sin n}.\end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 24 - Terme général donné par un produit [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier la nature de la série de terme général $$u_n=\prod_{q=2}^n\left(1+\frac{(-1)^q}{\sqrt q}\right).$$
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Critère de Cauchy [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Montrer que la série de terme général $u_n=\frac{\cos(\ln n)}{n}$ est divergente.
Indication
Corrigé
Exercice 26 - Un cran au-dessus! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier les séries de terme général :
- $u_n=\sin(\pi e n!)$ et $v_n=\sin\left(\frac{\pi}{e}n!\right).$
- $\displaystyle u_n=\frac{(-1)^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor }}{n^\alpha}$, pour $\alpha\in\mtr.$
Indication
Corrigé
Comparaison à une intégrale
Exercice 27 - Somme partielle des séries de Riemann [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\alpha\in\mathbb R$.
- Pour $\alpha<1$, déterminer un équivalent de $S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^\alpha}$.
- Pour $\alpha=1$, déterminer un équivalent de $S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^\alpha}$.
Indication
Corrigé
Exercice 28 - Reste d'une série de Riemann [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\alpha>1$. On note $$R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac 1{k^{\alpha}}.$$
- Soit $a>0$. Déterminer$$\lim_{x\to+\infty}\int_a^{x}\frac{dt}{t^\alpha}.$$
- En déduire un équivalent simple de $R_n$.
Indication
Corrigé
Exercice 29 - Où sont les séries? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer un équivalent simple de $\ln(n!)$.
Indication
Corrigé
Exercice 30 - Suivant un paramètre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Suivant la valeur de $\alpha\in\mathbb R$, déterminer la nature de la série $\sum_n u_n$, où$$u_n=\frac{\sqrt 1+\sqrt 2+\dots+\sqrt n}{n^\alpha}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 31 - Séries de Bertrand [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On souhaite étudier, suivant la valeur de $\alpha,\beta\in\mathbb R$, la convergence de la série de terme général$$u_n=\frac{1}{n^\alpha(\ln n)^\beta}.$$
- Démontrer que la série converge si $\alpha>1$.
- Traiter le cas $\alpha<1$.
- On suppose que $\alpha=1$. On pose $T_n=\int_2^n \frac{dx}{x(\ln x)^\beta}$.
- Montrer si $\beta\leq 0$, alors la série de terme général $u_n$ est divergente.
- Montrer que si $\beta>1$, alors la suite $(T_n)$ est bornée, alors que si $\beta\leq 1$, la suite $(T_n)$ tend vers $+\infty$.
- Conclure pour la série de terme général $u_n$, lorsque $\alpha=1$.
Indication
Corrigé
Exercice 32 - Somme de logarithmes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Par comparaison à une intégrale, donner un équivalent de $u_n=\sum_{k=1}^n \ln^2(k)$. La série de termegénéral $\frac 1{u_n}$ est-elle convergente?
Indication
Corrigé
Exercice 33 - Trouver une limite [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer $\displaystyle \lim_{a\to+\infty}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a}{n^2+a^2}.$
Indication
Corrigé
Calcul de sommes
Exercice 34 - Série télescopique... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Montrer que la série de terme général $$u_n=\frac{1}{\sqrt{n-1}}-\frac{2}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}$$(pour $n\geq 2$) est convergente, et calculer sa somme.
Indication
Corrigé
Exercice 35 - A partir d'une série géométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $x\in ]-1,1[$. Calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}kx^k$.
Indication
Corrigé
Exercice 36 - Avec des exponentielles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Sachant que $e=\sum_{n\geq 0}\frac1{n!}$, déterminer la valeur des sommes suivantes :$$\begin{array}{lllll}\displaystyle \mathbf 1.\ \dis \sum_{n\geq 0}\frac{n+1}{n!}&&\displaystyle \mathbf 2.\ \dis \sum_{n\geq 0}\frac{n^2-2}{n!}&&\displaystyle \mathbf 3.\ \sum_{n\geq 0}\frac{n^3}{n!}.\end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 37 - Série harmonique alternée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
- En utilisant l'inégalité de Taylor-Lagrange sur la fonction $t\mapsto {\ln(1+t)}$, montrer que la série $\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$ est convergente et de somme $\ln 2$.
- Sachant que $\dis\frac{1}{k}=\int_0^1 t^{k-1}dt$, retrouver d'une autre façon le résultat précédent.
Indication
Corrigé
Exercice 38 - Somme de la série des inverses des carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de l'exercice est de calculer $\sum_{n\geq 1}\frac1{n^2}$.
- Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ sur $[0,\pi]$. Démontrer que$$\int_0^\pi f(t)\sin\left(\frac{(2n+1)t}{2}\right)dt\longrightarrow_{n\to+\infty}0.$$
- On pose $A_n(t)=\frac12+\sum_{k=1}^n \cos(kt).$ Vérifier que, pour $t\in]0,\pi]$, on a$$A_n(t)=\frac{\sin\left((2n+1)t/2\right)}{2\sin(t/2)}.$$
- Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $n\geq 1$, $$\int_0^\pi (at^2+bt)\cos(nt)dt=\frac1{n^2}.$$Vérifier alors que$$\int_0^\pi(at^2+bt)A_n(t)=S_n-\frac{\pi^2}6$$où on a posé $S_n=\sum_{k=1}^n \frac1{k^2}$.
- Déduire des questions précédentes que $S_n\to \frac{\pi^2}6.$
Indication
Corrigé
Exercice 39 - Élimination imprévue [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier la convergence et calculer la somme de la série de terme général $\dis \arctan\left(\frac{1}{k^2+k+1}\right).$
Indication
Corrigé
Exercice 40 - Par regroupement! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier la convergence et calculer la somme de la série de terme général $$u_n=\frac{(-1)^n}{n+(-1)^n}.$$
Indication
Corrigé
Estimation des sommes partielles et du reste
Exercice 41 - Série alternée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Écrire un algorithme sous Python donnant un encadrement à $10^{-5}$ près de $\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{n\ln(n+1)}$.
Indication
Corrigé
Exercice 42 - Très vite! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit pour $n\geq 1$, $u_n=\frac 1{(2n-1)5^{2n-1}}$.
- Montrer que la série de terme général $u_n$ converge.
- On note $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_{k}$. Montrer que $R_n\leq \frac{25}{24}u_{n+1}$.
- En déduire la valeur de $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n$ à 0,001 près.
Indication
Corrigé
Exercice 43 - Développement asymptotique de la série harmonique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On pose $H_n=1+\frac12+\dots+\frac1n$.
- Prouver que $H_n\sim_{+\infty}\ln n$.
- On pose $u_n=H_n-\ln n$, et $v_n=u_{n+1}-u_n$.Étudier la nature de la série $\sum_n v_n$. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente. On notera $\gamma$ sa limite.
- Soit $R_n=\sum_{k=n}^{+\infty} \frac{1}{k^2}$. Donner un équivalent de $R_n$.
- Soit $w_n$ tel que $H_n=\ln n+\gamma+w_n$, et soit $t_n=w_{n+1}-w_n$. Donner un équivalent du reste $\sum_{k\geq n}t_k$.En déduire que $H_n=\ln n+\gamma+\frac{1}{2n}+o\left(\frac1n\right)$.
Indication
Corrigé
Exercice 44 - Somme et développement asymptotique de la série des inverses des carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de l'exercice est de calculer $\sum_{n\geq 1}\frac1{n^2}$ et de donner un développement asymptotique dela somme partielle $S_n=\sum_{k=1}^n \frac1{k^2}.$
- Soit $\alpha>1$ et $k\geq 2$. Démontrer que $$\int_{k}^{k+1}\frac{dt}{t^\alpha}\leq \frac1{k^\alpha}\leq \int_{k-1}^{k}\frac{dt}{t^\alpha}.$$
- En déduire que$$\sum_{k\geq n}\frac{1}{k^{\alpha}}\sim_{+\infty}\frac{1}{(\alpha-1)n^{\alpha-1}}.$$
- Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ sur $[0,\pi]$. Démontrer que$$\int_0^\pi f(t)\sin\left(\frac{(2n+1)t}{2}\right)dt\longrightarrow_{n\to+\infty}0.$$
- On pose $A_n(t)=\frac12+\sum_{k=1}^n \cos(kt).$ Vérifier que, pour $t\in]0,\pi]$, on a$$A_n(t)=\frac{\sin\left((2n+1)t/2\right)}{2\sin(t/2)}.$$
- Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $n\geq 1$, $$\int_0^\pi (at^2+bt)\cos(nt)dt=\frac1{n^2}.$$Vérifier alors que$$\int_0^\pi(at^2+bt)A_n(t)dt=S_n-\frac{\pi^2}6.$$
- Déduire des questions précédentes que $S_n\to \frac{\pi^2}6.$
- Déduire des questions précédentes que $$S_n=\frac{\pi^2}6-\frac1n+o\left(\frac 1n\right).$$
Indication
Corrigé
Exercice 45 - Reste d'une série alternée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de l'exercice est de déterminer un équivalent du reste de certaines séries alternées. On considère $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite de réels positifs décroissant vers $0$, et on considère la série $\sum_{n\geq 0}(-1)^n u_n$ dont on rappelle qu'elle est convergente. On note $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}(-1)^k u_k$ son reste. On suppose de plus que la suite $(u_n)$ vérifie les deux conditions suivantes :$$\forall n\geq0,\ u_{n+2}-2u_{n+1}+u_n\geq 0\qquad\textrm{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=1.$$
- Démontrer que pour tout $n\geq 0$, $|R_n|+|R_{n+1}|=u_{n+1}$.
- Démontrer que la suite $(|R_n|)$ est décroissante.
- En déduire que $R_n\sim_{+\infty}\frac{(-1)^{n+1} u_n}2.$
Indication
Corrigé
Produit de Cauchy et permutation des termes
Exercice 46 - Somme d'une série et produit de Cauchy [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $(a,b)\in\mathbb C^2$ tels que $|a|<1$ et $|b|<1$. Prouver que$$\left\{\begin{array}{rcll}\displaystyle \frac{1}{(1-a)(1-b)}&=&\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}&\textrm{ si }a\neq b,\\\displaystyle\frac{1}{(1-a)^2}&=&\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}{(n+1)a^n}&\textrm{ si }a=b.\end{array}\right.$$
Indication
Corrigé
Exercice 47 - Somme d'une série par produit de Cauchy [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $n\geq 0$, on pose $w_n=2^{-n}\sum_{k=0}^n \frac{4^k}{k!}$.
- Montrer que la série de terme général $w_n$ converge.
- Calculer sa somme en utilisant le produit d'une série géométrique par une autre série classique.
Indication
Corrigé
Exercice 48 - Séries semi-convergentes et produit de Cauchy [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit, pour $n\geq 0$, $u_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}$.
- Vérifier que $\sum_n u_n$ est semi-convergente.
- Montrer que le produit de Cauchy de $\sum u_n$ par $\sum u_n$ ne converge pas.
- Soit $\sigma:\mathbb N\to\mathbb N$ définie par $\sigma(3p)=2p$, $\sigma(3p+1)=4p+1$,$\sigma(3p+2)=4p+3$. Vérifier que $\sigma$ est une permutation de $\mathbb N$.Que peut-on dire de la série $\sum_n u_{\sigma(n)}$?
Indication
Corrigé
Applications
Exercice 49 - Formule de Stirling [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
- Soit $(x_n)$ une suite de réels et soit $(y_n)$ définie par $y_n=x_{n+1}-x_n$. Démontrer que la série $\sum_n y_n$ et la suite$(x_n)$ sont de même nature.
- On pose $(u_n)$ la suite définie par $\dis u_n=\frac{n^ne^{-n}\sqrt{n}}{n!}$. Donner la nature de la série de terme général $\dis v_n=\ln\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)$.
- En déduire l'existence d'une constante $C>0$ telle que :$$n!\sim_{+\infty} C\sqrt{n}n^ne^{-n}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 50 - Relation suite/série [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n )$ une suite de réels strictement positifs telle que $$\frac{{u_{n + 1} }}{{u_n }} = 1 + \frac{\alpha }{n} + O\left( {\frac{1}{{n^2 }}} \right)\text{, avec }\alpha \in \mathbb{R}.$$On fixe $\beta\in\mathbb R$ et on pose$$v_n=\ln\big((n+1)^\beta u_{n+1}\big)-\ln\big(n^\beta u_n\big).$$
- Pour quel(s) $\beta \in \mathbb{R}$ y a-t-il convergence de la série de terme général $v_n$?
- En déduire qu'il existe $A \in \mathbb{R}_+^{\star} $ pour lequel $u_n \sim_{+\infty} An^\alpha.$
Indication
Corrigé
Exercice 51 - Estimation asymptotique d'un produit [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $P_n=\prod_{k=2}^n \left(1+\frac{(-1)^k}{\sqrt k}\right)$. Démontrer qu'il existe $\lambda\in\mathbb R$ tel que $P_n\sim_{+\infty}\frac{e^\lambda}{\sqrt n}$.
Indication
Corrigé
Exercice 52 - Étude d'une suite récurrente [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $u_0\in]0,\pi[$ et $u_{n+1}=\sin u_n$, pour $n\geq 0$.
- Etudier la convergence de $(u_n)$.
- Montrer que $u_{n+1}/u_n$ tend vers 1. Calculer la limite de $\frac{u_n+u_{n+1}}{u_n}$.
- Montrer que $\frac{u_n-u_{n+1}}{u_n^3}$ tend vers 1/6.
- En déduire que $\frac{1}{u_{n+1}^2}-\frac{1}{u_n^2}$ tend vers 1/3.
- Montrer que l'on a $\lim(\sqrt{n}u_n)=\sqrt{3}.$
Indication
Corrigé
Exercice 53 - Irrationalité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On rappelle que $\cos(1)$ est défini par la série$\cos(1)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{(2k)!}$.Montrer que $\cos(1)$ est irrationnel.
Indication
Corrigé
Pour master MEEF
Exercice 54 - Au niveau Terminale S [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Proposer un énoncé d'exercice, au niveau Terminale Spécialité Maths, prouvant la convergence de la suite $(K_n)_{n\geq 1}$ définie par $\displaystyle K_n=\sum_{k=1}^n\frac 1{k^2}.$
Indication
Corrigé
